Terzo di cinque figli di uno scultore e impresario edile ticinese e di sua moglie Anna, Celestino Piatti cresce a Dietlikon, presso Zurigo. Dopo aver frequentato la scuola secondaria e il corso base della Scuola di arti e mestieri di Zurigo, dal 1938 al 1942 svolge l’apprendistato come grafico presso l’officina tipografica Fratelli Fretz SA. Dopo gli anni di servizio attivo presso l’esercito, nel 1944 ottiene il primo posto di lavoro nel famoso atelier di Fritz Bühler a Basilea, dove lavora fino al 1947 - nell’ultimo periodo come direttore.

Nel 1948 apre un proprio atelier di grafica pubblicitaria a Riehen, dove inizia la sua leggendaria attività come disegnatore di manifesti e riceve un premio per la sua prima opera dedicata ai buoni sconto di Basilea. Nel 1961 esce il primo tascabile della casa editrice dtv con un’illustrazione di Piatti su sfondo bianco, una caratteristica tipica del suo stile con cui nei 30 anni successivi illustrerà la copertina di oltre 6000 titoli, dando alla casa editrice la sua inconfondibile veste grafica. Nel 1966 trasferisce l’atelier e il domicilio a Basilea e nel 1973 a Duggingen, dove vive e lavora con la seconda moglie Ursula e la famiglia fino alla morte. Oltre all’importante incarico a lungo termine di dtv, Piatti ha realizzato più di 500 manifesti. Molte di queste opere sono diventate, in Svizzera come all’estero, vere e proprie icone dell’arte grafica, tanto che alcune fanno parte della collezione del Museum of Modern Art di New York. Anche molte serie di francobolli svizzeri disegnati da questo artista hanno un’eccellente qualità grafica. Nel 1957 Piatti diventa socio di Alliance Graphique Internationale (AGI).

È stato anche un appassionato illustratore e, ispirato da un grande amore per gli animali, nel 1963 ha iniziato a illustrare libri per bambini diventati molto popolari. I più famosi sono stati pubblicati persino in cinese e giapponese. Generazioni di scolari in Svizzera e all’estero hanno imparato a leggere sui libri illustrati da Piatti. Per diversi anni Piatti disegna frontespizi politicamente e socialmente impegnati per il «Nebelspalter». Non va dimenticata neppure la sua produzione come artista libero, che dal 1962 si ritira regolarmente nel suo atelier di Parigi. È lì, oltre che a Basilea e Duggingen, che nasce gran parte della sua arte libera.